大智慧和小硕果 - 20、组合问题_大战三道长

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[00:04.93]小朋友们
[00:06.45]欢迎来到成长巷学堂
[00:09.01]让我们一起探索数学的奥秘
[00:11.65]变得聪明无比吧
[00:15.41]上节课我们一起学习了排列问题
[00:20.53]所谓排列
[00:21.81]就是指从给定的n个元素中有序的挑出m个元素
[00:32.06]我们用符号ANM表示
[00:36.68]且m小于等于n
[00:41.38]当m等于n时
[00:43.70]这个排列数称为m的全排列
[00:49.48]来看上节课留下的问题吧
[00:53.26]如果用一二
[00:55.70]三这三个数字
[00:57.64]不许重复
[00:58.92]位数不限
[01:00.24]能写出多少个三的倍数呢
[01:05.00]小朋友们都知道
[01:07.79]一个数的各个位数上的数字之和能被三整除
[01:15.60]那么这个数字就是三的倍数
[01:20.94]所以我们只需从一二
[01:24.48]三这三个数可以组成的新的数字中挑选出位数之和能被三整除的即可
[01:34.70]已知这三个数使用不能重复
[01:39.96]那么新数字最多也就三位数
[01:45.30]我们分情况讨论
[01:47.66]如果新数字为一位数
[01:51.54]那么这个数只能是三
[01:54.46]因为一和二都不能被三整除
[01:59.08]所以只有一个数
[02:02.70]如果新数字为两位数
[02:06.74]那么我们需要从三个数字中选出两个不重复的数字来进行排序
[02:15.92]即共有a三二种方法
[02:21.20]可是这些两位数都是三的倍数吗
[02:26.04]我们具体来分析一下
[02:28.40]一二三中选两个不重复的数字可以是一二一三和二三
[02:39.88]一加二等于三
[02:44.08]符合条件
[02:46.80]一加三等于四
[02:50.42]不符合条件
[02:51.62]排除
[02:53.79]二加三等于五
[02:57.07]也不符合条件
[02:58.49]排除
[03:00.79]所以
[03:01.55]只有一和二组成的两位数是三的倍数
[03:07.85]那么我们只需要对一和二这两个数字进行排序
[03:13.85]即新数字个数不是代表从三个数字中选两个的a三二
[03:22.08]而是代表从一和二这两个数字中选两个进行排序的a
[03:28.94]二二
[03:31.78]如果新数字为三位数
[03:35.76]也就是一二
[03:38.02]三组成的数字r一加二加三等于六
[03:46.25]正好能被三整除
[03:49.79]所以一二
[03:51.85]三组成的数字符合条件
[03:56.04]从三个数字中选取三个数
[03:58.96]记作a三三个
[04:04.06]三种情况一共有一加a二
[04:09.84]二加a三三
[04:14.35]记一加二乘以一加三乘以二乘以一等于九个
[04:23.73]小朋友们
[04:24.75]你们学会了吗
[04:27.53]这天半夜
[04:28.71]饿极了的悟空
[04:29.89]八戒和沙和尚确认师傅安全后
[04:33.45]偷溜出来寻找吃食
[04:37.23]望见不远处灯火辉煌
[04:41.67]原来那里有座三清观
[04:45.94]有三个道长正带领着众道士三叩九拜
[04:51.70]悟空对八戒
[04:53.12]沙和尚说道
[04:55.00]那道观里兴许有不少问品
[04:58.04]我们可以找来填饱肚子
[05:01.90]八戒一听有吃的
[05:03.74]马上乐颠颠的加快步伐来到了三清观
[05:09.98]此时道士们都已经散了
[05:13.04]道观里空无一人
[05:16.61]八戒看见神像前面摆放的贡品
[05:20.67]口水流了一地
[05:23.97]于是他们三个立马拿起贡品吃了起来
[05:29.63]可是他们吃东西的动静太大了
[05:33.15]正好惊动了路过的三个道长
[05:37.66]道长们心里琢磨道
[05:40.70]莫非是我们新城惊动了三位仙尊
[05:47.10]现在他们圣体降临
[05:50.60]不正好求些圣水和金丹一对
[05:53.36]长生不老吗
[05:56.24]于是赶忙走进大殿中
[05:59.34]要去叩拜三位仙尊
[06:02.76]悟空他们见有人来了
[06:06.00]赶紧收拾整齐
[06:07.52]坐到了大殿上
[06:10.22]见他们三个向他们讨要什么圣水
[06:15.00]八戒
[06:15.58]沙和尚一时间不知道该如何是应
[06:20.86]悟空眉头一紧
[06:23.86]忽然直接从座位上过而起
[06:28.16]对八戒
[06:28.84]沙和尚说道
[06:30.54]这三个道长是妖怪编的
[06:33.72]三个妖怪发觉不是仙尊
[06:35.90]勃然大怒
[06:37.20]各自用其法术与悟空师兄弟打了起来
[06:42.64]孙悟空
[06:43.16]沙和尚和猪八戒为一族
[06:46.10]虎力大仙
[06:47.48]鹿力大仙和羊力大仙为一族
[06:51.73]公平起见
[06:53.13]每组只派出一个组员进行对战
[06:56.89]两组中的每个组员都可以重复参加对战
[07:02.47]小朋友们
[07:03.51]你们能算出一共有多少种组合方法吗
[07:08.93]两队人比赛
[07:10.55]组员可以重复对战
[07:13.97]这就意味着悟空可以和虎力大仙打一架
[07:19.75]悟空也可以和陆力大仙打一架
[07:23.61]而悟空和路力大仙打架与陆力大仙和悟空打架是一样的
[07:31.27]此时就不是有顺序的挑选了
[07:35.29]所以这不是一个排列问题
[07:39.52]像这样从给定个数的元素中仅仅选取出指定的两个元素
[07:49.19]不考虑顺序的问题
[07:52.53]我们称为组合问题
[07:56.35]那排列和组合有什么区别呢
[07:59.97]我们来看一道题
[08:03.11]有六本不同的经书
[08:05.47]唐僧和八戒各选一本独自看
[08:10.23]共有多少种不同的情况呢
[08:14.89]这其实就是一个六选二的排列问题
[08:22.45]GA六二等于三十种
[08:29.73]那如果他们俩各选一本书一起看呢
[08:35.01]独自看书的时候
[08:38.37]他们俩分别选经书一
[08:41.63]经书二和经书二
[08:46.43]经书一
[08:48.07]看的书是不同的
[08:51.05]一起看的话就是相同的了
[08:54.99]因为即使换了顺序
[08:57.61]唐僧和八戒看的书还是这两本
[09:01.31]没有区别
[09:03.75]独自看的两种情况
[09:05.89]一起看的时候只算一种了
[09:09.79]所以得除以二
[09:11.17]就有十五种情况
[09:14.92]在这个例子中
[09:16.44]独自看就属于排列
[09:20.06]而一起看就属于组合
[09:23.76]两者区别就在于
[09:26.02]排列时
[09:27.10]顺序不同的方式算两种
[09:31.09]而组合式只要是同样的元素
[09:34.13]无论什么顺序都算作一种
[09:38.19]为了方便标记
[09:41.33]数学家们用这个符号代表组合数
[09:47.52]下标表示共有几种元素
[09:52.50]上标表示选出几种元素
[09:57.44]刚刚唐僧和八戒一起看书的例子
[10:00.66]就是六选二的组合数
[10:04.32]即为c六二
[10:08.86]如果悟空也选一本书和唐僧
[10:13.94]八戒一起看
[10:17.20]那就是六选三的组合
[10:21.50]记作c六三
[10:25.92]那么c六三究竟是几种呢
[10:31.60]我们还是先来看独自看的方式
[10:36.12]六本经书选三本台历
[10:40.60]也就是a六三种方法
[10:44.74]跟我们之前两人看书的例子一样
[10:48.08]独自看变成一起看
[10:50.30]有些方法会变成同一种
[10:54.12]例如唐僧三人可以分别选经书一
[11:00.50]经书二
[11:01.80]经书三
[11:04.20]也可以选择经书一
[11:06.96]经书三
[11:08.28]经书二
[11:10.80]像这样三本书的所有排列方式
[11:15.72]现在只算成一种
[11:19.61]就得除以六
[11:23.57]所以c六三就等于a六三除以六
[11:30.83]这个六就是三个元素的排列数
[11:36.86]即a三三
[11:40.36]同样的
[11:41.38]两个人看书例子中
[11:43.22]这个二就是两个元素的排列数
[11:50.52]a二二
[11:53.43]观察一下
[11:54.45]要算组合数
[11:55.55]我们都需要先算排列数
[12:01.53]要取几个元素
[12:04.59]就需要除以这个元素的全排列数
[12:09.46]知道组合数的算法后
[12:12.23]我们就可以来解原来的题目了
[12:16.19]六个人中
[12:17.25]我们选两个人组合
[12:19.75]共有c六二
[12:23.73]可是这些组合方法中会出现悟空和八戒打架
[12:29.89]虎力大仙和陆力大仙打架等情况
[12:34.79]我们需要将两个队伍中同族打架的情况排除
[12:40.63]将悟空
[12:41.67]八戒和沙和尚看作一个队伍
[12:45.29]三个人中选两个组合
[12:48.07]记作c三二
[12:51.73]将虎狸大仙
[12:53.10]鹿力大仙和杨力大仙看作一个队伍
[12:57.95]三个人中选两个组合
[13:00.65]也记作c三二
[13:05.21]所以最终的组合数为c六二减去c三二与c三二的和
[13:16.01]即a六二除以a二二减去两倍的a三二除以a二二等于九种
[13:30.39]小朋友们
[13:31.33]你们学会了吗
[13:33.07]自己动手试一试这道题吧
[13:37.10]判断下列事件是排列问题还是组合问题
[13:42.00]并求出相应的排列数或组合数
[13:47.14]十个人相互各写一封信
[13:50.10]共写了多少封信
[13:53.59]十个人相互通一次电话
[13:56.01]共通了多少次电话
[13:58.89]答案我们下期揭晓
[14:04.07]成长像学堂
[14:05.49]圆孩子梦想
[14:06.81]我们下节课再见哟